假设我们考虑两个函数在[0, π/2] 上的区间：tan(x) 在该区间上的取值范围为 [0, ∞) ，而 x^3 在该区间上的取值范围也为 [0, (π/2)^3]，从性质上看,两个函数之间的增减性和增长速度可以通过极限方法进行分析。
在研究 tan(x) 与 x^3 的差异时，我们需要分别讨论它们在[tan(0), tan(π/2)] 和 [x, x^3] 之间的变化特性，在 x 趋向于 0 的过程中,我们可以用数学公式进行数值求解：
[ \lim_{t \to 0} \frac{tan(t)}{t^3} = 1 ]
这表明 tan(t) 是 x^3 的三阶无穷小（等价于 tan(x) 与 x^3 相同的函数），函数 x^3 的单调性和增长速度在 x 趋向于 0 时并无明显变化，始终保持在 x^3 项对应的实部区间内,所以没有呈现明显的增长过程。
要全面对比这两个函数的大小，我们无法仅仅通过 x 趋向于 0 的行为来判断二者是否存在实质性的差距,以下是对它们的深入理解和比较：
可以将一个区间 [a, b] 换为另一个连续且严格的子区间 [a - ε, a + ε], where ε > 0 是可选参数，表示允许的误差范围，如果我们选择 ε = 0.01，那么在 [-1, 1] 内的较小部分 [a - ε, a + ε] 将被保留：
- tan(a - ε) 在 [a - ε, a] 上为正切函数，即 tan(a - ε) < tan(x);
- tan(x) 在 [a, a + ε] 上为负切函数，即 tan(x) > tan(a + ε);
以此类推，对于任意大的ε，tan(x) 都会小于 tan(a + ε)；对于任意小的ε，tan(x) 都会大于 tan(a - ε)。
根据实数乘法和除法法则，由于 x^3 的每一项均比 t^3 更大，所以在不同的区间上，每个项的余弦函数值的绝对值都将增大，x^3 函数的幅度也越大，即使在 x 趋向于 0 的过程中，我们仍然可以看到 tan(x) 对 x^3 的影响越来越明显。
虽然在某些特定的区间下，tan(x) 大于 x^3，但在整体区间内（包括 x 趋向于 0 的边缘），它们的表现并不相等，而是呈现出一种介于两者之间的逐步变化，在描述两者的性质、比较它们的变化特性以及在特殊情况下与 x^3 的关系时，通常应保持谨慎并结合具体的上下文来进行严谨的分析，如果想要确切评价它们的大小关系，还需要考虑它们各自的边界条件、适用条件以及应用情境中的具体情况和限制。