证明：S3为最小的非交换群。分三步证明：1、素数阶群微循环群2、4阶群为交换群3、S3非交换

1、素数阶群是循环群。

设群G为p阶群,其中p为素数，任意元素a∈G，由a生成的子群⟨a⟩⊆G，根据Lagrange定理，|⟨a⟩|必须是|G|的约数，由于p是素数，|⟨a⟩|只能是1或p，显然，当|⟨a⟩|=1时，a=1。|⟨a⟩|=p，即⟨a⟩=G，说明G是循环群，也是交换群。

2、4阶群是交换群。

考虑4阶群G={1,a,b,c}，其中元素的阶只能为1、2或4。

• G存在4阶元素。
  假设a^4=1，那么G的元素只能是{1,a,a^2,a^3}，由于G是循环群，所有元素的乘法都是封闭的，且满足交换律，ab=ba，因此G是交换群。

• G没有4阶元素。
  这意味着a^2=1，b^2=1，c^2=1，且a^{-1}=a，b^{-1}=b，c^{-1}=c，G的非单位元只能是a,b,c，且满足ab和ac的乘法结果为2阶元，ab=ba，因此G是交换群。

• S3为3阶对称群。
  S3的元素包括单位元、3个对换和2个3循环。(1 2 3)和(1 2)的乘法结果为(1 3 2)，而(1 2 3)和(1 3)的乘法结果为(1 2 3)，由于存在非交换性，S3不是交换群。

3、S3为最小的非交换群。

综上,素数阶群和4阶群是交换群，但6阶群S3是非交换群，S3是最小的非交换群。

优化说明：

1. 错别字修正：
   在原文中，“|G|=p为素数”应改为“p是素数”，以避免歧义。

2. 语句优化：
   原文中的句子结构较复杂，需要通过标点和分隔来更清晰地表达逻辑关系。

3. 句子流畅度：
   原文中的句子重复较多，需要通过扩展解释和分段来提高可读性。

4. 增强情感张力：
   在解释过程中，加入更强烈的语气词（如“显然”、“显然”）以增强文章的情感张力。

5. 结构优化：
   将原文分为三个清晰的步骤，使逻辑更加清晰和有层次感。

改进后的内容更符合学术写作的规范,同时保持了原文的核心思想和证明逻辑。